【シェーダーグラフメモ その56】内積を使って任意方向のグラデーションを作る

はじめに

内積 を使って任意方向のグラデーションを作る方法を紹介します。

UV座標と2次元ベクトルの内積 = グラデーション

以下のシェーダーグラフを見てください。

UV座標とベクトル(1, 0.5) の内積をとると、(1, 0.5)の方向へ増加するグラデーションができます。

UVとベクトルの内積

数式による解説

UV座標 と ベクトル の内積を計算すると、 になります。

この式がある色の値 をとると考えた場合、以下のような直線の方程式を得ます。

グラデーションの色の値

の値を変えながら、グラデーションの上に直線 を引いてみると以下のようになります。

このグラデーションは直線 が表す領域であるとも言えます。

ちなみに、直線 はベクトル と垂直になっています。

内積に使用するベクトルは正規化したほうが良い

内積に使用するベクトルの長さが変化すると、内積結果は変わってしまいます。

ベクトルの長さによって内積結果が変わる

内積に使用するベクトルは Normalizeで長さを1にした方が良いでしょう。

Normalizeを使う

3次元の内積

3次元座標と３次元ベクトルの内積をとると、これもベクトル方向へ増加するグラデーションになります。

3次元座標と3次元ベクトルの内積

ベクトル(1, 2, 3)の正規化 と３次元座標の内積をとると、(1, 2, 3) の方向へ増加するグラデーションになります。

ベクトル(1, 2, 3) の方向へ増加するグラデーション

3次元座標とベクトルの内積は平面の方程式を作る

ベクトルと３次元座標 の内積は になります。

この式がある色の値をとると考えた場合、以下の方程式を得ます。

これはベクトルに垂直な平面の方程式になっています。

の部分は、Unity上のオブジェクトでは以下のように対応します。